عنوان فعالیت: تمرین ۱ تشخیص تابع و رسم نمودار پیکانی ریاضی دهم انسانی
۱. کدام یک از رابطه‌های زیر تابع است؟ چرا؟ برای هر رابطه نمودار مختصاتی را رسم کنید.
الف) (نمودار پیکانی از $\mathbf{A=\{a, b, c, d\}}$ به $\mathbf{B=\{a', b', c'\}}$: $\mathbf{a \to a', b \to b', c \to b', d \to c'}$)
ب) (نمودار پیکانی از $\mathbf{A=\{a, b, c\}}$ به $\mathbf{B=\{a', b', c'\}}$: $\mathbf{a \to a', a \to b', b \to c', c \to b'}$)
پ) $\mathbf{f = \{(2, -1), (3, -1), (1, -1), (4, 1), (2, 4)\}$
ت) $\mathbf{g = \{(1, 1)\}$
ث) $\mathbf{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad f(x) = 2x + 1}$
ج) $\mathbf{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad f(x) = x}$
چ) $\mathbf{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad f(x) = 2}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه 53 ریاضی دهم انسانی
سلام به شما! برای تشخیص **تابع** باید مطمئن شویم که **هر ورودی ($\mathbf{x}$ یا عضو دامنه) فقط و فقط یک خروجی ($\mathbf{y}$ یا عضو برد) دارد.**
---
### الف) نمودار پیکانی ۱
* **تحلیل:** از هر عضو دامنه ($\mathbf{a, b, c, d}$) **فقط یک پیکان** خارج شده است. (این که دو پیکان به $\mathbf{b'}$ وارد شده‌اند، مشکلی ندارد.)
* **پاسخ:** **تابع است.**
* **چرا؟** از هر عضو دامنه دقیقاً یک پیکان خارج شده است.
* **نمودار مختصاتی:** چهار نقطه $(\mathbf{a, a'}), (\mathbf{b, b'}), (\mathbf{c, b'}), (\mathbf{d, c'})$ (با فرض این‌که حروف به اعداد متناظر هستند).
### ب) نمودار پیکانی ۲
* **تحلیل:** از عضو $\mathbf{a}$ **دو پیکان** (به $\mathbf{a'}$ و $\mathbf{b'}$) خارج شده است.
* **پاسخ:** **تابع نیست.**
* **چرا؟** یک ورودی ($athbf{a}$) دو خروجی متفاوت ($athbf{a'}$ و $\mathbf{b'}$ ) دارد.
* **نمودار مختصاتی:** سه ورودی به چهار خروجی وصل شده‌اند. ورودی $\mathbf{a}$ روی یک خط عمودی دو خروجی دارد.
### پ) $\mathbf{f = \{(2, -1), (3, -1), (1, -1), (4, 1), (2, 4)\}$
* **تحلیل:** مؤلفه‌ی اول $\mathbf{2}$ تکرار شده و دو خروجی متفاوت دارد: $\mathbf{(2, -1)}$ و $\mathbf{(2, 4)}$.
* **پاسخ:** **تابع نیست.**
* **چرا؟** ورودی $\mathbf{2}$ دو خروجی متفاوت ($athbf{-1}$ و $\mathbf{4}$) دارد.
* **نمودار مختصاتی:** نقاط $\mathbf{(2, -1)}$ و $\mathbf{(2, 4)}$ روی یک خط عمودی قرار می‌گیرند.
### ت) $\mathbf{g = \{(1, 1)\}$
* **تحلیل:** این مجموعه فقط یک زوج مرتب دارد. ورودی $\mathbf{1}$ فقط یک خروجی $\mathbf{1}$ دارد.
* **پاسخ:** **تابع است.**
* **چرا؟** هر ورودی دقیقاً یک خروجی دارد.
* **نمودار مختصاتی:** فقط یک نقطه $\mathbf{(1, 1)}$ رسم می‌شود.
### ث) $\mathbf{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad f(x) = 2x + 1}$
* **تحلیل:** این یک تابع خطی است. به ازای هر $\mathbf{x}$ (عدد حقیقی)، $\mathbf{y}$ حاصل یکتا است.
* **پاسخ:** **تابع است.**
* **چرا؟** هر ورودی $\mathbf{x}$ یک خروجی $\mathbf{y}$ دارد. (نمودار آن یک خط راست است و در آزمون خط عمودی موفق است.)
### ج) $\mathbf{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad f(x) = x}$
* **تحلیل:** تابع همانی است. $\mathbf{y}$ همیشه برابر $\mathbf{x}$ است.
* **پاسخ:** **تابع است.**
* **چرا؟** یک ورودی $\mathbf{x}$، یک خروجی $\mathbf{x}$ دارد.
### چ) $\mathbf{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad f(x) = 2}$
* **تحلیل:** تابع ثابت است. $\mathbf{y}$ همیشه $\mathbf{2}$ است.
* **پاسخ:** **تابع است.**
* **چرا؟** به ازای هر $\mathbf{x}$، خروجی یکتای $\mathbf{2}$ را داریم. (نمودار آن یک خط افقی در $\mathbf{y=2}$ است.)
عنوان فعالیت: تمرین ۲ یافتن برد توابع از روی ضابطه و دامنه ریاضی دهم انسانی
۲. برد هریک از توابع زیر را با توجه به ضابطه و دامنه‌ی داده شده، به دست آورید.
الف) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = x^2 + x + 1 \quad , \quad A = \{0, -1, 1, 2, -2\}}$
ب) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = \frac{x + 1}{x} \quad , \quad A = \{\frac{1}{2}, 1, -1, 2, -2\}}$
پ) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = \sqrt{x + 1} \quad , \quad A = \{0, 1, 2, 3, 4, 8\}}$
ت) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = x \quad , \quad A = \mathbb{W} = \{0, 1, 2, \dots\}}$
ث) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = 0 \quad , \quad A = \mathbb{R}}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ یافتن برد توابع از روی ضابطه و دامنه صفحه 53 ریاضی دهم انسانی
**برد تابع ($athbf{R_f}$)** مجموعه‌ای از تمام مقادیر خروجی ($athbf{y}$) است که با جایگذاری اعضای دامنه ($athbf{A}$) در ضابطه‌ی تابع ($athbf{f(x)}$) به دست می‌آید.
---
### الف) $\mathbf{f(x) = x^2 + x + 1 \quad , \quad A = \{0, -1, 1, 2, -2\}}$
1. $\mathbf{f(0) = 0^2 + 0 + 1 = 1}$
2. $\mathbf{f(-1) = (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1}$
3. $\mathbf{f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3}$
4. $\mathbf{f(2) = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7}$
5. $\mathbf{f(-2) = (-2)^2 + (-2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3}$
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{1, 3, 7\}}$$
---
### ب) $\mathbf{f(x) = \frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x} \quad , \quad A = \{\frac{1}{2}, 1, -1, 2, -2\}}$
1. $\mathbf{f(\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{1/2} = 1 + 2 = 3}$
2. $\mathbf{f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2}$
3. $\mathbf{f(-1) = 1 + \frac{1}{-1} = 1 - 1 = 0}$
4. $\mathbf{f(2) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5}$
5. $\mathbf{f(-2) = 1 + \frac{1}{-2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5}$
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{3, 2, 0, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\}}$$
---
### پ) $\mathbf{f(x) = \sqrt{x + 1} \quad , \quad A = \{0, 1, 2, 3, 4, 8\}}$
1. $\mathbf{f(0) = \sqrt{0 + 1} = 1}$
2. $\mathbf{f(1) = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}}$
3. $\mathbf{f(2) = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}}$
4. $\mathbf{f(3) = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2}$
5. $\mathbf{f(4) = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}}$
6. $\mathbf{f(8) = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3}$
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, 3\}}$$
---
### ت) $\mathbf{f(x) = x \quad , \quad A = \mathbb{W} = \{0, 1, 2, \dots\}}$
این تابع، تابع همانی است. هر ورودی دقیقاً همان خروجی است.
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{0, 1, 2, \dots\} = \mathbb{W}}$$
---
### ث) $\mathbf{f(x) = 0 \quad , \quad A = \mathbb{R}}$
این تابع، تابع ثابت است. به ازای هر ورودی ($athbf{x}$ در $\mathbf{\mathbb{R}}$)، خروجی همیشه $\mathbf{0}$ است.
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{0\}}$$
---
### ج) $\mathbf{f(x) = x \quad , \quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$
برد تابع همانی که دامنه آن تمام اعداد حقیقی است، خود تمام اعداد حقیقی است.
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \mathbb{R}}$$
---
### چ) $\mathbf{f(x) = 2 \quad , \quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$
برد تابع ثابت که دامنه آن تمام اعداد حقیقی است، تنها شامل مقدار ثابت $\mathbf{2}$ است.
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{2\}}$
عنوان فعالیت: تمرین ۳ نوشتن و یافتن مقدار تابع ریاضی دهم انسانی
۳. تابع $\mathbf{f}$ به هر عدد حقیقی، دو برابر مکعب همان عدد، منهای $\mathbf{4}$ را نسبت می‌دهد. $\mathbf{f}$ کدام تابع است؟ حاصل $\mathbf{f(3)}$ را بیابید.
الف) $\mathbf{f(x) = 2(x - 4)^3}$
ب) $\mathbf{f(x) = 2\sqrt[3]{x} - 4}$
پ) $\mathbf{f(x) = 2x^3 - 4}$
ت) $\mathbf{f(x) = 2\sqrt[3]{x - 4}}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه 53 ریاضی دهم انسانی
این تمرین به ما یاد می‌دهد که چگونه عبارات کلامی را به ضابطه ریاضی تابع تبدیل کنیم و سپس مقدار تابع را محاسبه کنیم.
### گام ۱: نوشتن ضابطه تابع ($athbf{f(x)}$)
**عبارت کلامی:** «دو برابر مکعب همان عدد، منهای $\mathbf{4}$»
1. **عدد:** $\mathbf{x}$
2. **مکعب همان عدد:** $\mathbf{x^3}$
3. **دو برابر مکعب:** $\mathbf{2x^3}$
4. **منهای $\mathbf{4}$:** $\mathbf{2x^3 - 4}$
**ضابطه صحیح:** $\mathbf{f(x) = 2x^3 - 4}$.
**پاسخ به سؤال:** تابع **پ) $\mathbf{f(x) = 2x^3 - 4}$** تابع مورد نظر است.
### گام ۲: محاسبه $\mathbf{f(3)}$
مقدار $\mathbf{x=3}$ را در ضابطه‌ی صحیح جایگذاری می‌کنیم:
$$\mathbf{f(3) = 2(3)^3 - 4}$$
$$\mathbf{f(3) = 2(27) - 4}$$
$$\mathbf{f(3) = 54 - 4}$$
$$\mathbf{f(3) = 50}$$
**پاسخ نهایی:** حاصل $\mathbf{f(3)}$ برابر $\mathbf{50}$ است.
عنوان فعالیت: تمرین ۴ تشخیص تابع از روی نمودار مختصاتی ریاضی دهم انسانی
۴. کدام نمودار، نمایش یک تابع می‌باشد؟ چرا؟
(شش نمودار شامل منحنی‌های مختلف، نقطه گسسته، و خط عمودی ارائه شده است.)
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه 53 ریاضی دهم انسانی
برای تشخیص تابع از روی نمودار، از **آزمون خط عمودی** استفاده می‌کنیم: اگر هیچ خط عمودی‌ای وجود نداشته باشد که نمودار را در **بیش از یک نقطه** قطع کند، نمودار نمایش یک تابع است.
### تحلیل نمودارها:
1. **الف) (نمودار رادیکالی افقی):**
* **تحلیل:** هر خط عمودی نمودار را در یک نقطه قطع می‌کند.
* **پاسخ:** **تابع است.**
2. **ب) (نمودار پله‌ای افقی):**
* **تحلیل:** هر خط عمودی نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. (نقاط توخالی و پر به صورت متناوب قرار دارند.)
* **پاسخ:** **تابع است.**
3. **پ) (نمودار سهمی روبه‌سمت راست):**
* **تحلیل:** خطوط عمودی‌ای (مثلاً $\mathbf{x=1}$) وجود دارند که نمودار را در **دو نقطه** قطع می‌کنند.
* **پاسخ:** **تابع نیست.**
4. **ت) (نمودار پله‌ای عمودی):**
* **تحلیل:** خط عمودی‌ای (در دامنه‌ی تعریف شده) نمودار را در **دو نقطه** قطع می‌کند (نقطه پر و توخالی در $\mathbf{x}$های مثبت).
* **پاسخ:** **تابع نیست.**
5. **ث) (نمودار گسسته-یک نقطه):**
* **تحلیل:** فقط یک نقطه گسسته است. هیچ خط عمودی‌ای نمی‌تواند آن را در دو نقطه قطع کند.
* **پاسخ:** **تابع است.**
6. **ج) (نمودار خط عمودی):**
* **تحلیل:** یک خط عمودی کامل است (مثلاً $\mathbf{x=3}$). این خط توسط خود خط عمودی در بی‌نهایت نقطه قطع می‌شود.
* **پاسخ:** **تابع نیست.** (یک ورودی، بی‌نهایت خروجی دارد.)
7. **چ) (نمودار رادیکالی):**
* **تحلیل:** هر خط عمودی نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند.
* **پاسخ:** **تابع است.**
**نتیجه‌گیری:** نمودارهای **الف، ب، ث و چ** نمایش یک تابع می‌باشند.
